e 作为一个数学常数，是自然对数函数的底数。它有时被称为欧拉常数，以瑞士数学家欧拉的名字命名；事实上，常数e第一次被发现是由John Napier在1618年2001年出版的一本关于对数的书的附录中的一个表格。是的，这个Napier就是发明对数的人，但他并没有记录这个常数，只有一个基于它计算的对数表。有趣的是，在历史上，对数是先出现的，对数和指数之间的关系是后来发现的，这与现在教科书上的顺序正好相反。事实上，直到1770年，欧拉才第一个指出“对数是由指数推导出来的”。此时，对数和指数的发明已经有一百多年了。
第一个将e 视为常数的人是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)，但没有证据。已知第一个使用e 的人是戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)。莱布尼茨(Leibniz) 在1690 年和1691 年的通信中提到过，但使用e 来表示常数是由欧拉(Euler) 在1727 年开始的。
那么，欧拉是如何发现这个自然常数e的呢？当时，欧拉试图解决半个世纪前另一位数学家雅各布·伯努利提出的一个问题：假设你把1元钱存入银行，银行提供的年利率是100%。也就是说，一年后，你会得到2元连利息。那么现在假设每六个月计算一次利息，半年利率为50%，即0.5。本方案每年计息一次，本金和利息合计为1+10.5=1.5元。那么下半年本金和利息按照(1+0.5)2=2.25元计算，即一年2.25元。那么如果当前的利率计算周期更短的话会发生什么呢？假设每月结算一次，月利率为1/12，本息计算为(1+1/12)12，最终结果约为2.61304元。看来利息期限越短，回报就越好。然而，雅各布·伯努利发现，当n趋于无穷大时，这种连续复利存在一个极限值。
这个极限是由欧拉50年后计算到小数点后18位：
e=2.71828182845904523。当时欧拉的计算是当代的极限，但现代计算机可以毫无困难地得到e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6624977572 47093 69995 95749 66967 62772。 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274……。
这可以在任何微积分教程中得到证明。使用的单调有界序列必须有极限。
它还有另一种极端形式：
事实上，在数的发展史上，几何发现往往是第一推动力，比如、2等的发现。
虽然e的发现并不是从几何开始的，但它也可以有以下几何解释：
设n个相同的矩形ABCD组成的矩形为ABEF，设AB=x，BE=y，则x2=n，y2=n(n+1)，(y/n)2=1+1/n，
说白了，e的非理性和超越性是很难证明的。直到1873年，法国数学家查尔斯·埃尔米特才证明了e的超越性。但到目前为止，ee 的超越性还不清楚。这些都是数论的范畴，相对较难。
其实e在数论中有着神奇的存在，尤其是在素数分布中：
所有大于2n 形式的偶数都具有以e 为中心的共轭奇数组。每组之和为2n，且至少有一组是共轭素数。可以说是素数的中轴，但也只是奇数的中轴。
自然常数也与素数的分布有关。存在某个自然数a，那么大约有一个比它小的素数。当a 较小时，结果不太正确。但随着a的增加，这个定理会变得越来越准确。这个定理称为素数定理，是由高斯发现的。
e 在现代几何中有一种奇怪的行为。首先，我们看一下完整图： 中e 的行为
在图论的数学领域中，完全图是一种简单的无向图，其中每对不同的顶点恰好由一条边连接。完整的有向图又是一个有向图，其中每对不同的顶点都由一对唯一的边（每个方向各一条）连接。具有n 个端点的完全图有n 个端点和n(n 1)/2 条边，用Kn 表示。它是一个(k -1)-正则图。每个完整的图都是它自己的一个派系。
图论本身始于莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler) 1736 年关于柯尼斯堡七桥的研究。然而，完整图的绘制（其顶点位于正多边形的点处）早在13 世纪就已出现。此类画有时被称为神秘玫瑰。
假设完整图中路径总数为W，哈密顿道路总数为h，则
W/h=e.
这个定律进一步证明了e不是有意构造的，e甚至可以称为完全率。与pi有一定的相似性。看来极限完全图就是图论中的圆，哈密顿路就是直径。自然常数的含义是极限完全图中路径总数与哈密顿道路总数的比值。
我们来看看e在凸体：中的表现
自Bartos于1968年提出顶角概念以来，蒋星耀于1987年证明，任意n维单纯形n的任意n+1个顶角均成立不等式
由此可见
至于e的级数表达式，常见的是：
这个证明可以在任何高等数学书中找到，它是泰勒公式的一个特例。
至于e与复数的联系，下面这个公式非常有名，受到陶哲轩、张益堂的推崇。
这个方程的神奇之处在于，它连接了高等数学中常用的三个著名数字e、i 和。虚数与实数交替，实虚运算最终回归现实，符合哲学和推测。
类似的例子还有一些可以举，也是相当有趣的表达方式。
1719年，意大利数学家法尼亚诺获得
1997年，中国建筑师李明波荣获
该公式下面的一些等效形式看起来更好。
不太常见的是Ramanujan（中文：Srinivasa Ramanujan=泰米尔语：=英语：SrinivasaRamanujan），
这是连分数的表达式。 1913年，拉马努金给英国著名数学家哈代寄了一封长达9页的信，其中包括拉马努金自己发现的120个公式。上式就是其中之一。这些公式没有证明过程。据说，大部分都是拉马努金通过心算得出的。然而，拉马努金的短暂一生却令人惋惜。关于拉马努金的故事可以参考电影《知无涯者》。
视频详细介绍了他给出了整数n的分裂函数P(n)的估计，并证明了P(n)的渐近公式。这个公式从发现、证明到被数学家认可，经历了漫长的痛苦时期。他的工作对后来的数学家产生了很大的影响。
拉马努金过去靠直觉推导公式，不喜欢证明，但事后证明他是对的。他留下的未经证实的公式引发了后来的大量研究。
电影中还有一个非常有趣的部分，就是1729年的故事，他和哈代乘坐过一次1729年的出租车。他告诉哈代，这是一个有趣的数字，因为1729可以表示为两个立方之和，并且有两种表达方式。其中，1729是最小的。 （即1729=13 + 123=93 + 103。后来，这种号码被称为出租车号码。）在电影的最后（拉马努金去世后），当哈代和他的朋友们乘坐出租车时，他带着他刚上车的朋友下了出租车。我下了出租车，坐了下一辆，车牌是1729。
最后，e 在概率论中也有神奇的应用，比如维基百科中提到的“Derangements”问题：
将n顶帽子随机放入n个位置。假设每顶帽子都有预设的正确位置，那么所有帽子都处于错误位置的概率是多少？我认为这个和中有n个整数，假设1,2,3,n。从小到大是自然正确的顺序。那么如果将这n个数字随机排列的话，每个数字都会走到“其他人”的位置的概率是多少呢？
可以有如下解法： 首先，有n！ n 个数的多种排列，且全部正确，概率为1/n!
消除所有错误后的排列数为：
那么有
显然有
这表明当n 取不同的奇数和偶数时，该概率围绕1/e 来回波动。
感谢您的阅读！
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用户评论
哇，终于等到这篇关于e的十大表达方式的指南了！之前一直想学，现在终于有了方向。
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这十大表达方式太实用了，感觉学完后我的表达力会大大提升。
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标题里的“e”是指什么啊？有点不明所以，期待详细解释。
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学了一段时间英语，发现e的用法确实很关键，这篇博文真是及时雨。
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这个标题看起来很专业，但内容会不会太深奥了？希望对初学者友好。
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每次看到“十大”这个词，我都忍不住想看，这篇肯定不错。
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e的用法一直是我的痛点，这篇博文如果能解决我的问题就太好了。
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十大表达方式？这么丰富，我得收藏起来慢慢学。
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看了标题，我以为会学到很多高级用法，结果发现都是基础，有点失望。
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e的用法确实多种多样，这篇博文让我对英语有了更深的认识。
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这篇文章太有帮助了，我已经收藏起来，准备每天学习一点。
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标题太吸引人了，点开一看，内容也很有料，赞一个！
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看完这篇博文，感觉自己对e的掌握又上升了一个层次。
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学英语的过程中，e的用法总是让人头疼，这篇博文让我豁然开朗。
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这篇博文对e的讲解太详细了，感觉以前学得都不对。
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标题很有创意，内容也很丰富，感谢作者的分享。
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e的用法我之前一直搞不懂，这篇博文让我有了新的认识。
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这篇博文让我意识到，原来e的表达方式这么多，真是大开眼界。
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